定理 1. 对任意空间S与u1,u2,…,un∈S,Gram矩阵半正定

证明.

G = (
<u1,u1> ⋯ <u1,un>
⋮ ⋱ ⋮
<un,u1> <un,un>
) = (
u1
⋮
un
) × (
u1 ⋯ un
)

对u作施密特正交化，得正交基v：

(
u1 ⋯ un
) = (
v1 ⋯ vn
) × U

这里U是一个单位上三角阵（参考正交化过程）。

带入G可得：

G = U T × (
v1
⋮
vn
) × (
v1 ⋯ vn
) × U
| G | = |(
v1
⋮
vn
) × (
v1 ⋯ vn
)| = |
<v1,v1> 0
⋱
0 <vn,vn>
| ⩾ 0

G的顺序主子阵也是Gram矩阵，因此也满足这一性质。因此G的所有顺序主子式都大于等于0，G半正定